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3.11 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

Definition 3.28

Sei \(f\colon X\to Y\) eine Abbildung.

  1. Die Abbildung \(f\) heißt injektiv, wenn für alle \(x, x^\prime \in X\) mit \(x\ne x^\prime \) gilt, dass \(f(x) \ne f(x^\prime )\). Man nennt \(f\) in diesem Fall auch eine Injektion.

  2. Die Abbildung \(f\) heißt surjektiv, wenn für alle \(y\in Y\) ein \(x\in X\) existiert mit \(f(x) = y\), mit anderen Worten: wenn \(\operatorname{Im}(f) =Y\). Man nennt \(f\) in diesem Fall auch eine Surjektion.

  3. Die Abbildung \(f\) heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Man nennt \(f\) in diesem Fall auch eine Bijektion.

\includegraphics[width=7.9cm]{figures/injektiv}
Injektiv: Jedes Element von \(Y\) wird von höchstens einem Pfeil erreicht. Mit anderen Worten: Zwei verschiedene Pfeile dürfen nicht denselben Endpunkt haben.

\includegraphics[width=7.9cm]{figures/surjektiv}
Surjektiv: Jedes Element von \(Y\) wird von mindestens einem Pfeil erreicht.

\includegraphics[width=7.9cm]{figures/bijektiv}
Bijektiv: Jedes Element von \(Y\) wird von genau einem Pfeil erreicht. (Indem man die Richtungen aller Pfeile umdreht, erhält man deswegen eine Abbildung von \(Y\) nach \(X\), die Umkehrabbildung der ursprünglichen Abbildung, siehe Definition 3.30.)

Eine injektive Abbildung nennt man manchmal auch eine Einbettung. Ist \(X\subseteq Y\) eine Teilmenge, so ist die Inklusionsabbildung (oder kurz: Inklusion) \(X\to Y\), \(x\mapsto x\), eine injektive Abbildung.

Beispiel 3.29

Betrachte die folgenden Abbildungen:

  1. \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), \(x\mapsto x^2\),

  2. \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), \(x\mapsto x^3\),

  3. \(f\colon \mathbb R_{\ge 0}\to \mathbb R\), \(x\mapsto x^2\),

  4. \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R_{\ge 0}\), \(x\mapsto x^2\),

  5. \(f\colon \mathbb Z_{\ge 0}\to \mathbb Z_{\ge 0}\), \(x\mapsto x^2\).

  1. Die folgenden Abbildungen sind injektiv: (ii), (iii), (v). Die anderen Abbildungen aus der Liste sind nicht injektiv.

  2. Die folgenden Abbildungen sind surjektiv: (ii), (iv). Die anderen Abbildungen aus der Liste sind nicht surjektiv.

Definition 3.30

Sei \(f\colon X\to Y\) eine Abbildung. Eine Abbildung \(g\colon Y\to X\) heißt Umkehrabbildung von \(f\), wenn \(g\circ f = \operatorname{id}_X\) und \(f\circ g = \operatorname{id}_Y\) gilt.

In der Situation ist dann also auch \(f\) eine Umkehrabbildung von \(g\). Außerdem sind dann \(f\) und \(g\) automatisch bijektiv, wie der folgende Satz zeigt:

Satz 3.31

Sei \(f\colon X\to Y\) eine Abbildung. Es existiert genau dann eine Umkehrabbildung \(g\) von \(f\), wenn die Abbildung \(f\) bijektiv ist. In diesem Fall ist die Umkehrabbildung von \(f\) eindeutig bestimmt.

Proof
Wenn \(f\) eine Umkehrabbildung hat, dann ist \(f\) surjektiv (denn für \(y\in Y\) gilt \(f(g(y)) = y\)) und injektiv (denn für \(x, x^\prime \in X\) mit \(f(x) = f(x^\prime )\) gilt \(x = g(f(x)) = g(f(x^\prime )) = x^\prime \)).

Sei nun \(f\) bijektiv. Gegeben \(y\in Y\), so existiert \(x\in X\) mit \(f(x) = y\), weil \(f\) surjektiv ist. Zudem ist \(x\) eindeutig bestimmt, denn \(f\) ist injektiv. Wir setzen \(g(y) := x\). Damit ist eine Abbildung \(g\colon Y\to X\) definiert, und nach Konstruktion gilt \(g(f(x)) = x\) für alle \(x\in X\). Es ist noch zu zeigen, dass \(f\circ g = \operatorname{id}_Y\) ist. Sei dazu \(y\in Y\), und sei \(x\) das eindeutig bestimmt Element von \(X\) mit \(f(x) = y\). Dann gilt \(f(g(y)) = f(x) = y\).

Alternativ kann man die Umkehrfunktion \(g\) von \(f\) über ihren Funktionsgraphen angeben; dieser ist

\[ \{ (f(x), x); x\in X \} \subseteq Y\times X. \]

Wir begründen noch, dass die Umkehrabbildung von \(f\) eindeutig bestimmt ist. Wegen der Bedingung \(g\circ f=\operatorname{id}_X\) ist \(g\) jedenfalls auf allen Elementen der Form \(f(x)\) eindeutig bestimmt: Es muss \(g(f(x))=x\) gelten. Weil \(f\) surjektiv ist, hat aber jedes Element von \(Y\) diese Form.

Proof

Wir bezeichnen die (eindeutig bestimmte) Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung \(f\colon X\to Y\) oft mit \(f^{-1}\). In diesem Fall ist für \(y\in Y\) also \(f^{-1}(y)\) ein Element von \(X\). Man muss hier etwas aufpassen, da man die Bezeichnung \(f^{-1}(y)\) (für nicht notwendig bijektive Abbildungen) auch manchmal als Abkürzung für \(f^{-1}(\{ y\} )\) benutzt, und dies ist nach Definition die Teilmenge

\[ \{ x\in X;\ f(x) \in \{ y\} \} = \{ x\in X;\ f(x) = y \} \]

von \(X\). (Ist \(f\) bijektiv, so hat diese Teilmenge aber nur ein einziges Element.)

Man zeigt leicht die folgenden Aussagen:

Lemma 3.32
  1. Die Verkettung von zwei injektiven Abbildungen ist eine injektive Abbildung.

  2. Die Verkettung von zwei surjektiven Abbildungen ist eine surjektive Abbildung.

  3. Die Verkettung von zwei bijektiven Abbildungen ist eine bijektive Abbildung.

Lemma 3.33

Seien \(f\colon X\to Y\) und \(g\colon Y\to Z\) Abbildungen. Dann gilt:

  1. Ist die Verkettung \(g\circ f\) injektiv, dann ist \(f\) injektiv.

  2. Ist die Verkettung \(g\circ f\) surjektiv, dann ist \(g\) surjektiv.