9 Die Determinante
Die Determinante einer Matrix bzw. eines Endomorphismus kann man unter mehreren Aspekten sehen. Ursprünglich wurde sie entwickelt als Ausdruck, der bestimmt, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und später, um eine Art »Lösungsformel« für solche Gleichungssysteme zu haben, vergleiche Abschnitt 2.5 und Beispiel 5.56. Mit der Cramerschen Regel Satz 9.32 werden wir dieses Ziel erreichen. Allerdings direkt an dieser Stelle die Bemerkung: Zur praktischen Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ist diese Methode viel zu aufwändig; der Gauß-Algorithmus ist ihr immer überlegen. Für theoretische Überlegungen (wie Korollar 9.33) hat sie aber ihren Nutzen.
Von ihrem Ursprung abgesehen hat die Determinante in der heutigen linearen Algebra eine wesentlich größere, auch theoretische Bedeutung, die wir nach und nach kennenlernen werden. An dieser Stelle erwähnen wir:
Die Determinante \(\det (A)\) einer quadratischen Matrix \(A\in M_n(K)\) ist ein Element von \(K\), das in Termen der Koeffizienten von \(A\) angegeben/ausgerechnet werden kann. Es gilt genau dann \(\det (A)\ne 0\), wenn \(A\) invertierbar ist. Die Determinante liefert also eine sowohl praktisch wie auch theoretisch nützliche Art und Weise zu entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist.
Für eine quadratische Matrix \(A\in M_n(\mathbb R)\) über den reellen Zahlen hat die Determinante von \(A\) die folgende geometrische Interpretation: Ist \(M\subseteq \mathbb R^n\) eine Teilmenge mit Volumen \(m\) (im Sinne von Abschnitt 11.6.2 oder Abschnitt 11.6.3), dann hat ihr Bild \(\mathbf f_A(M)\) unter der linearen Abbildung \(\mathbf f_A\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\) das Volumen \(\lvert \det (A)\rvert \cdot m\). Siehe Satz 11.66. Insbesondere ist \(\lvert \det (A)\rvert \) das Volumen des »Parallelotops«, das das Bild des Einheitswürfels unter \(\mathbf f_A\) ist.