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18 Konstruktionen von Vektorräumen

Wir kennen schon einige Möglichkeiten, um aus gegebenen Vektorräumen »neue« zu konstruieren, unter anderem die direkte Summe und das Produkt von Vektorräumen (Abschnitt I.6.6) und die Räume \(\operatorname{Hom}_K(V, W)\) von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen.

In diesem Kapitel kommen wir zuerst noch einmal kurz auf Summe und Produkt zu sprechen, und betrachten dann einige weitere Konstruktionen von Vektorräumen:

  • den Quotientenvektorraum \(\left.V\middle /U\right.\) eines Vektorraums \(V\) nach einem Untervektorraum \(U\),

  • das Tensorprodukt von Vektorräumen,

  • die äußeren Potenzen eines Vektorraums.

Die Quotientenkonstruktion ist eine Methode, die nicht nur für Vektorräume sondern auch für Mengen, Gruppen und Ringe in ähnlicher Weise durchführbar ist, und speziell im Kontext von Gruppen und von Ringen noch eine wesentlich größere Bedeutung hat, als für Vektorräume. Siehe die Abschnitte 18.3 und 18.4 für kurze Einführungen.

Um die Gemeinsamkeiten zwischen den verschiedenen Quotientenkonstruktionen deutlich zu machen (und das Fundament für weitere Verallgemeinerungen auf noch kompliziertere Objekte zu legen), diskutieren wir die Charakterisierung des Quotienten durch seine »universelle Eigenschaft«. Das klingt zuerst ein bisschen kompliziert, ist aber ein sehr mächtiges Konzept, das zum Beispiel in der Algebra und der algebraischen Geometrie von Bedeutung ist.

Es wird oft nützlich sein, die gegebenen Objekte und Abbildungen in einem sogenannten »kommutativen Diagramm« darzustellen.

Definition 18.1

Ein Diagramm von Abbildungen ist gegeben durch eine Menge von Objekten und eine Menge von Abbildungen dazwischen.

Wir sprechen von einem kommutativen Diagramm, wenn für je zwei Objekte in dem Diagramm alle Verkettungen entlang verschiedener Wege vom ersten zum zweiten Objekt dieselbe Abbildung ergeben.

Die Definition lässt sich am einfachsten anhand einiger Beispiele erklären.

Beispiel 18.2
  1. Gegeben sei ein Diagramm

    \begin{tikzcd} 
            A \ar{d}{t}\ar{r}{g} & B\ar{d}{s} \\
            C \ar{r}{f} & D.
        \end{tikzcd}

    Das Diagramm ist genau dann kommutativ, wenn \(f\circ t = s\circ g\) gilt.

  2. Gegeben sei ein Diagramm

    \begin{tikzcd} 
            A \ar{rr}{f}\ar{dr}[swap]{h} & & B \\
                                         & C.\ar{ur}[swap]{g}
        \end{tikzcd}

    Das Diagramm ist genau dann kommutativ, wenn \(f = g\circ h\) gilt.

  3. Gegeben sei ein Diagramm

    \begin{tikzcd} 
                T \arrow[bend left]{rrd}{\varphi}
                \arrow[bend right]{rdd}[swap]{\psi}
                \ar{rd}{\xi} \\
                & Z \ar{r}{g}\ar{d}{v} & X\ar{d}{u} \\
                & Y \ar{r}{f} & S.
            \end{tikzcd}

    Das Diagramm ist genau dann kommutativ, wenn \(\psi = v\circ \xi \), \(\varphi =g\circ \xi \) und \(f\circ v = u\circ g\) gilt. Die anderen Bedingungen, zum Beispiel \(u\circ \varphi = f\circ v\circ \xi \), folgen daraus.

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