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18.1 Produkt und direkte Summe von Vektorräumen

18.1.1 Die universelle Eigenschaft des Produkts

Sei \(K\) ein Körper. Sei \(I\) eine Menge (“Indexmenge”), und sei für jedes \(i\in I\) ein Vektorraum \(V_i\) gegeben. Wir haben in Abschnitt I.6.6 das Produkt und die direkte Summe der Familie \(V_i\) definiert, und zwar ist

\[ \prod _{i\in I} V_i = \left\{ (v_i)_{i\in I};\ v_i\in V_i \right\} \]

als Menge das gewöhnliche kartesische Produkt, und die Vektorraumstruktur ist durch komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation definiert. Die direkte Summe

\[ \bigoplus _{i\in I} V_i = \left\{ (v_i)_{i\in I}\in \prod _{i\in I} V_i;\ v_i=0\ \text{für alle bis auf höchstens endlich viele}\ i\in I \right\} \quad \subseteq \prod _{i\in I} V_i \]

ist der Untervektorraum derjenigen Elemente, in denen nur endlich viele Einträge \(\ne 0\) sind. Ist \(I\) endlich, dann stimmen direkte Summe und direktes Produkt überein.

Ist \(I=\{ 1,\dots n\} \), so schreiben wir auch \(\prod _{i=1}^n V_i\) oder \(V_1\times \cdots \times V_n\) statt \(\prod _{i\in I} V_i\).

Das Produkt erfüllt die folgende sogenannte »universelle Eigenschaft«.

Satz 18.3 Universelle Eigenschaft des Produkts

Mit den obigen Notationen sei \(V:=\prod _{i\in I} V_i\). Die Projektionen \(\pi _j\colon V\rightarrow V_j\), \((v_i)_i\mapsto v_j\), sind Vektorraumhomomorphismen.

Sei \(W\) ein Vektorraum zusammen mit Homomorphismen \(p_j\colon W\rightarrow V_j\). Dann gibt es genau einen Homomorphismus \(\varphi \colon W\rightarrow V\), so dass für alle \(j\in I\) gilt: \(p_j = \pi _j \circ \varphi \).
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] W \ar [dashed]{rr}{\varphi }\ar {dr}[swap]{p_j} \&  \&  \prod _{i\in I} V_i\ar {dl}{\pi _j} \\ \&  V_j. \end{tikzcd}

Beweis

Wir definieren \(\varphi \) durch

\[ \varphi (w) = (p_i(w))_{i\in I}. \]

Es ist leicht zu sehen, dass diese Abbildung die gewünschten Eigenschaften hat, und dass es keine andere Möglichkeit gibt, eine solche Abbildung zu definieren.

In Teil (2) des Satzes nennt man den Vektorraum \(W\) (zusammen mit den Homomorphismen \(p_j\)) auch das Testobjekt für die universelle Eigenschaft. Es ist wichtig, dass hier jeder Vektorraum als Testobjekt verwendet werden darf.

Der Beweis des Satzes ist so simpel, dass sich die Frage stellt, warum der Satz überhaupt nützlich ist. Uns dient der Satz hier vor allem der Illustration, wie eine universelle Eigenschaft eine Charakterisierung der entsprechenden Konstruktion liefert. Das formulieren wir folgendermaßen.

Satz 18.4

Seien \(K\) ein Körper, \(I\) eine Menge, und für \(i\in I\) sei ein \(K\)-Vektorraum \(V_i\) gegeben. Sei \(P\) ein \(K\)-Vektorraum zusammen mit Vektorraum-Homomorphismen \(\psi _j\colon P\to V_j\), so dass gilt:

Für jeden \(K\)-Vektorraum \(W\) (»Testobjekt«) zusammen mit Homomorphismen \(p_j\colon W\rightarrow V_j\) gibt es genau einen Homomorphismus \(\varphi \colon W\rightarrow P\), so dass für alle \(j\in I\) gilt: \(p_j = \psi _j \circ \varphi \).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus \(\alpha \colon P\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\prod _{i\in I}V_i\), so dass \(\psi _j = \pi _j\circ \alpha \) für alle \(j\) gilt. (Hier bezeichnet wieder \(\pi _j\colon \prod _iV_i\to V_j\) die Projektion.)

Beweis

Weil wir schon gesehen haben, dass das Produkt \(\Pi :=\prod _{i\in I} V_i\) und \(P\) dieselbe universelle Eigenschaft erfüllen, lässt sich der Satz durch ein rein formales Argument in den folgenden vier Schritten beweisen.

Wir bezeichnen die Projektion \(\Pi = \prod _{i\in I} V_i\to V_j\) wie oben mit \(\pi _j\).

Schritt 1: Konstruktion eines Homomorphismus \(\alpha \colon P\to \Pi \). Wir wenden die universelle Eigenschaft von \(\Pi \) an (mit Testobjekt \(P\)). Mit \(P\) und den Abbildungen \(\psi _j\colon P\to V_j\) haben wir ein Testobjekt, das die Voraussetzungen erfüllt, und wir erhalten einen eindeutig bestimmten Homomorphismus \(\alpha \colon P\to \Pi \), so dass \(\psi _j = \pi _j\circ \alpha \) für alle \(j\in I\) gilt.
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] P \ar [dashed]{rr}{\alpha }\ar {dr}[swap]{\psi _j} \&  \&  \Pi \ar {dl}{\pi _j} \\ \&  V_j. \end{tikzcd}

Schritt 2: Konstruktion eines Homomorphismus \(\beta \colon \Pi \to P\). Symmetrisch dazu wenden wir jetzt die universelle Eigenschaft von \(P\) an. Mit \(\Pi \) und den Abbildungen \(\pi _j\colon \Pi \to V_j\) haben wir ein Testobjekt, das die Voraussetzungen erfüllt, und wir erhalten einen eindeutig bestimmten Homomorphismus \(\beta \colon \Pi \to P\), so dass \(\pi _j = \psi _j\circ \beta \) für alle \(j\in I\) gilt.
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] \Pi \ar [dashed]{rr}{\beta }\ar {dr}[swap]{\pi _j} \&  \&  P\ar {dl}{\psi _j} \\ \&  V_j. \end{tikzcd}

Schritt 3: \(\beta \circ \alpha = \operatorname{id}_P\). Wir betrachten nun die beiden Homomorphismen \(\operatorname{id}_P\colon P\to P\) und \(\beta \circ \alpha \colon P\to P\). Es gilt
  1. \(\psi _j = \psi _j\circ \operatorname{id}_P\), und

  2. \(\psi _j = \pi _j\circ \alpha = \psi _j\circ (\beta \circ \alpha )\).

Wegen der Eindeutigkeitsaussage in der universellen Eigenschaft von \(P\) (mit Testobjekt \(P\)) folgt, dass \(\beta \circ \alpha = \operatorname{id}_P\) ist.
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] P \ar {r}{\alpha }\ar [bend left]{rr}{\operatorname{id}_P}\ar {dr}[swap]{\psi _j} \&  \Pi \ar {r}{\beta } \&  P\ar {dl}{\psi _j} \\ \&  V_j. \end{tikzcd}

Schritt 4: \(\alpha \circ \beta = \operatorname{id}_\Pi \). Das Argument verläuft genau symmetrisch zu Schritt 3.

Da \(\alpha \) und \(\beta \) zueinander invers sind, handelt es sich um Isomorphismen. Die Eindeutigkeit in den Schritten 1 und 2 folgt direkt aus der Eindeutigkeitsaussage der universellen Eigenschaft (auch ohne schon zu wissen, dass \(\alpha \) und \(\beta \) Isomorphismen sind).

Bemerkung 18.5 Nutzen der Charakterisierung durch eine universelle Eigenschaft

Die Charakterisierung durch eine universelle Eigenschaft erlaubt es, gewisse Konzepte – wie das Produkt – rein in Termen von Objekten und zugehörigen Abbildungen auszudrücken. Das funktioniert nicht nur für Vektorräume und Vektorraum-Homomorphismen, sondern immer, wenn wir eine »vernünftige« Klasse von Objekten und dazugehörigen Abbildungen (»Homomorphismen«, oder oft auch einfach »Morphismen«) an der Hand haben. (Der »richtige« Begriff, um diese Situation zu formalisieren ist der Begriff der Kategorie, siehe Ergänzung 18.8.1.)

Zum Beispiel kann man so den Begriff des Produkts auch charakterisieren für

  • Mengen und Abbildungen,

  • Gruppen und Gruppenhomomorphismen,

  • Ringe und Ringhomomorphismen,

und auch in vielen anderen Situationen.

So elegant die Definition eines Begriffs über die universelle Eigenschaft ist (wenn man sich erst einmal daran gewöhnt hat), hat sie doch einen Haken: Zwar bekommt man die Eindeutigkeit bis auf eindeutig bestimmten Isomorphismus »geschenkt«, aber ob so ein Objekt überhaupt existiert, lässt sich aus der Definition nicht ablesen. In der Tat ist es leicht, Beispiele von »Situationen« zu geben, wo ein Objekt, das die obige universelle Eigenschaft des Produkts hat, nicht existiert! Und ähnlich ist es für die anderen Beispiele aus der Liste unten, die man durch universelle Eigenschaften charakterisieren kann: Die Existenz muss jedesmal noch extra bewiesen werden.

Zum Beispiel gibt es keinen Körper \(K\), der die universelle Eigenschaft des Produkts von \(\mathbb Q\) und \(\mathbb F_2\) erfüllt (mit Ringhomomorphismen als Abbildungen). Man kann zwar den Produktring \(\mathbb Q\times \mathbb F_2\) betrachten, aber das ist (warum?) kein Körper. Dass es so einen Körper gar nicht geben kann, sieht man daran, dass es schon keinen Körper \(K\) gibt, für den es sowohl einen Ringhomomorphismus \(K\to \mathbb Q\) als auch einen Ringhomomorphismus \(K\to \mathbb F_2\) gibt.

Bei Begriffen, die wir ohnehin durch eine konkrete Konstruktion definiert haben, ist das natürlich kein Problem. Aber zum Beispiel beim Tensorprodukt ist der Beweis, dass ein Objekt mit der gesuchten universellen Eigenschaft überhaupt existiert, etwas »lästig«. Immerhin ist das Gute, dass man die explizite Konstruktion, wenn die Existenz des gesuchten Objektes einmal gezeigt ist, in vielen Fällen nie wieder braucht, weil man alle Eigenschaften des Objekts mit der universellen Eigenschaft begründen kann.

Dasselbe Prinzip (aber eben mit anderen »universellen Eigenschaften«) lässt sich auf viele Konstruktionen anwenden, zum Beispiel kann man auch die folgenden Konstruktionen durch universelle Eigenschaften charakterisieren:

  • die direkte Summe von Vektorräumen, siehe unten,

  • den sogenannten Quotienten eines Vektorraums nach einem Unterraum (oder einer Gruppe nach einem Normalteiler oder eines Rings nach einem Ideal …), siehe die Abschnitte 18.2, 18.3, 18.4,

  • den Kern eines (Vektorraum-)Homomorphismus,

  • das Bild eines (Vektorraum-)Homomorphismus,

  • den Polynomring über einem kommutativen Ring,

  • das Tensorprodukt von Vektorräumen und die äußeren Potenzen eines Vektorraums, siehe die Abschnitte 18.5, 18.6.

Bemerkung 18.6 Analogien zur universellen Eigenschaft

Vielleicht ist es hilfreich, noch einmal an die folgenden Konstruktionen/Definitionen zu erinnern, die (in gewissem Maße) der Charakterisierung durch eine universelle Eigenschaft ähneln:

  1. Seien \(R\) ein Integritätsring und \(a,b\in R\). Ein Element \(d\) heißt ggT von \(a\) und \(b\), wenn gilt:

    1. \(d\, |\, a\), \(d\, |\, b\),

    2. für jedes Element \(d^\prime \) mit \(d^\prime \, |\, a\) und \(d^\prime \, |\, b\) gilt \(d^\prime \, |\, d\).

    Wenn Sie hier \(x\, |\, y\) gedanklich als »es existiert \(x \to y\)« interpretieren, und voraussetzen, dass zwischen zwei »Objekten« immer höchstens eine Abbildung (»ein Pfeil«) existiert, dann liest sich die obige Definition ganz ähnlich wie die universelle Eigenschaft des Produkts von zwei Objekten \(a\) und \(b\).

    Die Ähnlichkeit erstreckt sich auch dahin, dass aus der Definition nicht die Existenz eines ggT folgt, und dass ein ggT eindeutig bestimmt ist bis auf Multiplikation mit einer (eindeutig bestimmten) Einheit von \(R^\times \).

  2. Sei \(V\) ein Vektorraum und sei \(M\subseteq V\) eine Teilmenge. Ein Untervektorraum \(U\subseteq V\) heißt von \(M\) erzeugter Untervektorraum, wenn gilt:

    1. \(M\subseteq U\),

    2. für jeden Untervektorraum \(U^\prime \subseteq V\) mit \(M\subseteq U^\prime \) gilt \(U\subseteq U^\prime \).

    Hier spielt \(\subseteq \) die Rolle der Abbildungen und wir bekommen für jedes »Testobjekt« \(U^\prime \) eine »Abbildung« von \(U\) nach \(U^\prime \). Diese Definition ähnelt daher der universellen Eigenschaft der direkten Summe, die wir in Abschnitt 18.1.2 anschauen wollen.

Bemerkung 18.7

Man kann die universelle Eigenschaft des Produkts auch folgendermaßen umformulieren: Seien wie oben \(K\)-Vektorräume \(V_i\), \(i\in I\), gegeben, und seien \(\pi _j\colon \prod _iV_i\to V_j\) die Projektionen. Für jeden \(K\)-Vektorraum \(W\) ist der Homomorphismus

\[ \operatorname{Hom}_K\left(W, \prod _{i\in I}V_i\right) \to \prod _{i\in I}\operatorname{Hom}_K(W, V_i),\quad \psi \mapsto (\pi _i\circ \psi )_{i\in I} \]

bijektiv.

Bemerkung 18.8

Der Zugang über die universelle Eigenschaft liefert auch eine neue Begründung dafür, dass das leere Produkt, also das Produkt (von einer Familie von \(K\)-Vektorräumen) mit leerer Indexmenge, als der Nullvektorraum über \(K\) angesehen werden sollte. Warum?

18.1.2 Die universelle Eigenschaft des Koprodukts

Die direkte Summe kann man in ähnlicher Weise durch eine universelle Eigenschaft charakterisieren.

Satz 18.9 Universelle Eigenschaft der direkten Summe

Seien \(K\) ein Körper, \(I\) eine Menge und sei für jedes \(i\in I\) ein Vektorraum \(V_i\) gegeben.

  1. Mit den obigen Notationen sei \(V:=\bigoplus {i\in I} V_i\). Die Inklusionen \(\iota _i\colon V_i\rightarrow V\), \(v\mapsto (\dots , 0, v, 0, \dots )\) (\(v\) steht an der Stelle \(I\)) sind Homomorphismen.

  2. Sei \(W\) ein Vektorraum zusammen mit Homomorphismen \(f_i\colon V_i\rightarrow W\). Dann gibt es genau einen Homomorphismus \(\varphi \colon \bigoplus _{i\in I}V_i\rightarrow W\), so dass für alle \(i\in I\) gilt: \(f_i = \varphi \circ \iota _i\).

    \begin{tikzcd} [ampersand replacement = \&]
    \bigoplus_{i\in I}V_i \ar[dashed]{rr}{\varphi}\& \& W   \\
\& V_j.\ar{ul}{\iota_j}\ar{ur}[swap]{f_j}
                       \end{tikzcd}
  3. Sei \(V’\) ein Vektorraum zusammen mit Homomorphismen \(\iota _i^\prime \colon V_i\rightarrow V^\prime \), der auch die Eigenschaft in (2) hat. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus \(\varphi \colon V\rightarrow V^\prime \), so dass für alle \(i\): \(\iota _i^\prime = \varphi \circ \iota _i\).

Beweis

Der Beweis der Teile (1) und (2) ist einfach. Die Abbildung \(\varphi \) in Teil (2) definiert man durch

\[ \varphi ((v_i)_{i\in I}) = \sum _{i\in I} f_i(v_i). \]

Weil höchstens endlich viele \(v_i\) von Null verschieden sind, hat die Summe auf der rechten Seite nur endlich viele Summanden \(\ne 0\). Für Teil (3) kann man ganz analog zu Satz 18.4 vorgehen. Man konstruiert in den ersten beiden Schritten Homomorphismen \(V\to V^\prime \) und \(V^\prime \to V\) mit der Existenzaussage der universellen Eigenschaften, und benutzt dann die Eindeutigkeitsaussage, um zu beweisen, dass beide Verkettungen mit der jeweiligen Identitätsabbildung übereinstimmen.

Überlegen Sie sich, dass die direkte Summe aber (wenn \(I\) unendlich ist und unendlich viele \(V_i\ne 0\) sind) nicht die universelle Eigenschaft des Produkts erfüllt, und dass ebenso das Produkt in diesem Fall nicht die universelle Eigenschaft der direkten Summe erfüllt.

Zwischen Produkt und direkter Summe von Vektorräumen gibt es eine formale Analogie: Man erhält die universelle Eigenschaft der direkten Summe aus derjenigen des Produkts, indem man bei allen Abbildungen (allen »Pfeilen«) die Richtung umdreht:

\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] W \ar [dashed]{rr}{\varphi }\ar {dr}[swap]{p_j} \&  \&  \prod _{i\in I} V_i\ar {dl}{\pi _j} \\ \&  V_j. \end{tikzcd}
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] W \&  \&  \bigoplus _{i\in I}V_i \ar [dashed]{ll}[swap]{\varphi } \\ \&  V_j.\ar {ul}{f_j}\ar {ur}[swap]{\iota _j} \end{tikzcd}

Deshalb nennt man die direkte Summe manchmal auch das Koprodukt der Familie \((V_i)_{i\in I}\), besonders dann, wenn man über die universelle Eigenschaft spricht. Für das Koprodukt verwendet man auch das Symbol \(\coprod _{i\in I}\).

Bemerkung 18.10

Ähnlich wie in Bemerkung 18.7 kann man die universelle Eigenschaft des Koprodukts von Vektorräumen folgendermaßen umformulieren: Ist \(V_i\), \(i\in I\), eine Familie von \(K\)-Vektorräumen, so ist für jeden Vektorraum \(W\) die Abbildung

\[ \operatorname{Hom}_K\left(\bigoplus _{i\in I} V_i, W\right) \to \prod _{i\in I} \operatorname{Hom}_K(V_i, W),\quad \varphi \mapsto (\varphi \circ \iota _i)_{i\in I} \]

bijektiv. Vergleiche Satz I.7.15.

Bemerkung 18.11 Koprodukt von Mengen

Das gewöhnliche kartesische Produkt von Mengen erfüllt für Mengen und Abbildungen zwischen Mengen dieselbe universelle Eigenschaft wie das Produkt von \(K\)-Vektorräumen (und auch wie das Produkt von Gruppen und das Produkt von Ringen). Beim Koprodukt ist die Sache interessanter. Es gibt nämlich für Mengen \(X\), \(Y\) keine »natürliche« Abbildung \(X\to X\times Y\), weil es – anders als im Fall von Vektorräumen mit dem Nullvektor – kein »ausgezeichnetes« Element von \(Y\) gibt. Deshalb lässt sich ein Koprodukt \(X\coprod Y\) von Mengen \(X\) und \(Y\) (also eine Menge, die die universelle Eigenschaft des Koprodukts für die Familie \(X\), \(Y\) erfüllt) nicht als Teilmenge des Produkts \(X\times Y\) konstruieren.

Man kann aber Koprodukte von Mengen auf eine andere Art und Weise konstruieren, und zwar hat die disjunkte Vereinigung von zwei Mengen (bzw. allgemeiner von einer Familie \((X_i)_{i\in I}\) von Mengen) die richtige universelle Eigenschaft. Unter der disjunkten Vereinigung einer Familie \(X_i\), \(i\in I\) verstehen wir eine Menge \(\coprod _{i\in I}X_i\) mit injektiven Abbildungen \(\iota _i\colon X_i\to \coprod _{i\in I} X_i\), so dass \(\coprod _{i\in I} X_i\) die Vereinigung aller \(\iota _i(X_i)\) ist, und so dass \(\iota _i(X_i)\cap \iota _j(X_j)=\emptyset \) für alle \(i\ne j\) ist. Man bildet sozusagen die Vereinigung in einer Art und Weise, dass die Elemente der einzelnen \(X_i\) jedenfalls voneinander getrennt bleiben. (Formal kann man das als die Vereinigung der Mengen \(\{ i\} \times X_i\) konstruieren, die Abbildung \(\iota _i\) ist dann durch \(x\mapsto (i, x_i)\) gegeben. Es ist nicht schwer nachzuprüfen, dass diese Konstruktion eine Menge (zusammen mit den Abbildungen \(\iota _i\)) liefert, die die universelle Eigenschaft des Koprodukts erfüllt.

Bemerkung 18.12

Der Zugang über die universelle Eigenschaft liefert auch eine neue Begründung dafür, dass die leere direkte Summe, also die direkte Summe (von einer Familie von \(K\)-Vektorräumen) mit leerer Indexmenge, als der Nullvektorraum über \(K\) angesehen werden sollte. Warum?