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14.2 Quotienten und andere Universalkonstruktionen

Um zu erklären, was es mit der Quotientenkonstruktion auf sich hat, betrachten wir die folgende Situation: Sei \(K\) ein Körper, \(V\) ein Vektorraum und \(U\subseteq V\) ein Untervektorraum. Wenn \(f\colon V\to W\) ein Vektorraumhomomorphismus mit Kern \(U\) ist, dann werden Vektoren \(v, v^\prime \) unter \(f\) genau dann auf dasselbe Element von \(W\) abgebildet, wenn die Differenz \(v-v^\prime \) in \(U\) liegt. Vektoren, die sich »nur um ein Element aus \(U\) unterscheiden«, werden also unter \(f\) »identifiziert«.

Aber gibt es zu gegebenem \(U\) überhaupt immer einen Homomorphismus, der \(U\) als Kern hat? Wir haben in der Linearen Algebra 1 gesehen, dass das jedenfalls dann immer der Fall ist, wenn \(V\) endlichdimensional ist. Allerdings mussten wir, um ein solches \(f\) zu erhalten, einen Komplementärraum zu \(U\) wählen. Dass hier eine Wahl erforderlich ist, ist etwas unschön, und an dieser Stelle entsteht auch die Einschränkung auf den endlichdimensionalen Fall, weil wir den Basisergänzungssatz benötigen, den wir nur für endlichdimensionale Vektorräume bewiesen hatten. Die Aussage gilt aber allgemein, und die Konstruktion des Quotienten \(\left.V\middle /U\right.\) und der zughörigen »kanonischen Projektion« \(V\to \left.V\middle /U\right.\) ist eine abstrakte Konstruktion eines Vektorraumhomomorphismus mit Kern \(U\).

Insofern kann man argumentieren, dass man diese Konstruktion schon viel früher in der Vorlesung hätte behandeln können, auch schon vor der Einführung der Begriffe der Basis und der Dimension. Andererseits hat man durch die Wahl eines Komplementärraums (jedenfalls im endlichdimensionalen Fall) einen guten »Ersatz« für den Quotienten, und das ist der Grund, warum es auch nicht schadet, die allgemeine Konstruktion erst etwas später zu machen.

Eine sehr ähnliche Konstruktion ist die des Restklassenringes \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) zusammen mit der kanonischen Projektion \(\mathbb Z\to \left.\mathbb Z\middle /n\right.\), die wir in der Linearen Algebra 1 kennengelernt haben (Abschnitt I.4.2.1). Diese Konstruktion werden wir mit dem Begriff des Quotienten eines Rings nach einem Ideal weiter verallgemeinern.

Ist \(G\) eine Gruppe und \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, dann kann man sich ebenso die Frage stellen, ob es einen Gruppenhomomorphismus \(f\colon G\to G^\prime \) mit \(\operatorname{Ker}(f) = H\) gibt. Dies ist allerdings nicht immer der Fall! Wenn wir über Quotienten von Gruppen sprechen, werden wir klären, welche zusätzliche Bedingung \(H\) erfüllen muss.

Wir werden auch besprechen, was es bedeutet, dass der Quotient (beispielsweise eines Vektorraums nach einem Untervektorraum) durch eine »universelle Eigenschaft« charakterisiert werden kann. Mit ähnlichen universellen Eigenschaften lassen sich viele Konstruktionen charakterisieren, die wir schon gesehen haben (zum Beispiel auch das Produkt und die direkte Summe von Vektorräumen, der Kern und das Bild von linearen Abbildungen, …), und dieser Begriff ist oft nützlich, wenn man in anderen Kontexten das richtige »Analogon« zu einem dieser Begriffe sucht.