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15.2 Ideale

Definition 15.15

Sei \(f\colon R \rightarrow R’\) ein Ringhomomorphismus. Dann heißen

\[ \operatorname{Im}f := f(R) \]

das Bild und

\[ \operatorname{Ker}f := f^{-1}(\{ 0\} ) \]

der Kern des Ringhomomorphismus \(f\).

Weil ein Ringhomomorphismus \(f\) insbesondere ein Homomorphismus der zugehörigen additiven Gruppen ist, folgt aus Lemma I.8.24, dass \(f\) genau dann injektiv ist, wenn \(\operatorname{Ker}(f) = \{ 0\} \) gilt.

Es ist leicht zu sehen, dass in dieser Situation \(\operatorname{Im}f\) wieder ein Ring ist. Weil meist \(1\not\in \operatorname{Ker}f\) gilt, ist der Kern eines Ringhomomorphismus in der Regel kein Ring in unserem Sinne, allerdings stets ein sogenanntes Ideal:

Definition 15.16

Sei \(R\) ein Ring. Eine Teilmenge \(\mathfrak a\subseteq R\) heißt Ideal von \(R\), falls \(\mathfrak a\) eine Untergruppe von \((R, +)\) ist und falls für alle \(a\in \mathfrak a\) und \(x\in R\) gilt: \(xa\in \mathfrak a\) und \(ax \in \mathfrak a\).

Bemerkung 15.17

Für die Bezeichnung von Idealen werden häufig Frakturbuchstaben benutzt (vor allem \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\), \(\mathfrak c\) und für Ideale mit speziellen Eigenschaften auch \(\mathfrak m\), \(\mathfrak n\), \(\mathfrak p\), \(\mathfrak q\)). Daher hier eine Liste.

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

\(\mathfrak a\)

\(\mathfrak b\)

\(\mathfrak c\)

\(\mathfrak d\)

\(\mathfrak e\)

\(\mathfrak f\)

\(\mathfrak g\)

\(\mathfrak h\)

\(\mathfrak i\)

\(\mathfrak j\)

\(\mathfrak k\)

\(\mathfrak l\)

\(\mathfrak m\)

 

\(\mathfrak A\)

\(\mathfrak B\)

\(\mathfrak C\)

\(\mathfrak D\)

\(\mathfrak E\)

\(\mathfrak F\)

\(\mathfrak G\)

\(\mathfrak H\)

\(\mathfrak I\)

\(\mathfrak J\)

\(\mathfrak K\)

\(\mathfrak L\)

\(\mathfrak M\)

 

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

\(\mathfrak n\)

\(\mathfrak o\)

\(\mathfrak p\)

\(\mathfrak q\)

\(\mathfrak r\)

\(\mathfrak s\)

\(\mathfrak t\)

\(\mathfrak u\)

\(\mathfrak v\)

\(\mathfrak w\)

\(\mathfrak x\)

\(\mathfrak y\)

\(\mathfrak z\)

\(\mathfrak N\)

\(\mathfrak O\)

\(\mathfrak P\)

\(\mathfrak Q\)

\(\mathfrak R\)

\(\mathfrak S\)

\(\mathfrak T\)

\(\mathfrak U\)

\(\mathfrak V\)

\(\mathfrak W\)

\(\mathfrak X\)

\(\mathfrak Y\)

\(\mathfrak Z\)

Und noch einmal handgeschrieben (in einer Annäherung der Sütterlin-Schreibschrift; für das kleine »s« gibt es zwei Formen, je nachdem, wo im Wort es steht):

\includegraphics[width=\textwidth ]{suetterlin}

Beispiel 15.18
  1. In jedem Ring sind \(\{ 0\} \) (das Nullideal) und \(R\) (das sogenannte Einsideal) Ideale.

  2. Ist \(\mathfrak a\) ein Ideal eines Rings \(R\), das eine Einheit von \(R\) enthält, so gilt \(1\in R\) und folglich \(\mathfrak a = R\).

  3. Ist \(K\) ein Körper, so sind \(\{ 0\} \) und \(K\) die einzigen Ideale von \(K\). Ist andersherum \(R\) ein kommutativer Ring, in dem \(\{ 0\} \) und \(R\) die einzigen Ideale sind, dann ist \(R\) (warum?) ein Körper.

  4. Ist \(f\colon R\to S\) ein Ringhomomorphismus, dann ist \(\operatorname{Ker}(f)\subseteq R\) ein Ideal. Wir wissen bereits, dass es sich um eine Untergruppe von \((R, +)\) handelt, da \(f\) insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist. Außerdem gilt für \(x\in R\), \(a\in \operatorname{Ker}(f)\), dass \(f(xa) = f(x) f(a) = 0\), also \(xa\in \operatorname{Ker}(f)\), und genauso zeigt man \(ax\in \operatorname{Ker}(f)\). Wir werden später sehen, dass für jeden Ring \(R\) und jedes Ideal \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ringhomomorphismus \(R\to S\) mit Kern \(\mathfrak a\) existiert. (Siehe Abschnitt 18.4.)

Beispiel 15.19

Wir betrachten den Ring \(\mathbb Z\) der ganzen Zahlen. Ist \(d\in \mathbb Z\), so ist die Menge

\[ (d) := \{ xd;\ x\in \mathbb Z \} \]

aller Vielfachen von \(d\) ein Ideal (und wir werden in Satz 15.39 sehen, dass im Ring \(\mathbb Z\) alle Ideale diese Form haben).

Ergänzung 15.20

Der Begriff Ideal geht auf Ernst Kummer zurück, der ihn im Bereich der Zahlentheorie einführte und als Abkürzung für »ideale Zahlen« verstand. Dort treten Ringe auf, in denen das Analogen der eindeutigen Primfaktorzerlegung zwar nicht mehr für die Elemente des Rings gilt, aber wo man eine analoge Aussage für die Ideale des Rings beweisen kann. Siehe auch Ergänzung 15.55.

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal. Wir erhalten so den Begriff des von einer Teilmenge von \(R\) erzeugen Ideals.

Definition 15.21

Sei \(R\) ein Ring und sei \(M\subseteq R\) eine Teilmenge. Wir schreiben \((M)\) für den Durchschnitt aller Ideale von \(R\), die \(M\) als Teilmenge enthalten, und nennen \((M)\) das von der Teilmenge \(M\) erzeugte Ideal. Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal von \(R\), das \(M\) enthält, das heißt: Ist \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal mit \(M\subseteq \mathfrak a\), so gilt \((M)\subseteq \mathfrak a\).

Im Fall \(M = \{ x_1, \dots , x_n\} \) schreibt man auch \((x_1, \dots , x_n)\) statt \((\{ x_1, \dots , x_n\} )\). Der Fall von Idealen, die von einem einzigen Element erzeugt werden, ist besonders wichtig; diese Ideale nennt man Hauptideale. Ist \(R\) ein kommutativer Ring und \(a\in R\), so gilt

\[ (a) = \{ xa;\ x\in R\} . \]

Es ist \((0) = \{ 0\} \) das Nullideal und \((1)=R\) das Einsideal von \(R\).

In einem kommutativen Ring kann man die Elemente eines Ideals der Form \((x_1, \dots , x_n)\) ähnlich explizit beschreiben wie die Elemente eines von einer Menge erzeugten Untervektorraums in einem Vektorraum. Es gilt

\[ (x_1, \dots , x_n) = \left\{ \sum _{i=1}^n a_i x_i;\ a_i\in R\right\} , \]

denn die rechte Seite ist, wie man nachrechnet, ein Ideal, und es ist klar, dass sie in der linken Seite enthalten ist.