3 Ganze und endliche Ringhomomorphismen
3.1 Definitionen, einfache Eigenschaften
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus.
Ein Element $b\in B$ heißt ganz über $A$ (bezüglich $\varphi $), wenn ein normiertes Polynom $f\in R[X]$ existiert mit $f(b) = 0$.
Der Homomorphismus $\varphi $ heißt ganz, falls jedes Element $b\in B$ ganz über $A$ ist.
Der Homomorphismus $\varphi $ heißt endlich, falls $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist.
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann heißt $B$ eine endlich erzeugte $A$-Algebra, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
Es existieren endlich viele Elemente $b_1,\dots , b_n\in B$, so dass $B$ die kleinste A-Unteralgebra von $B$ ist, die alle $b_i$ enthält.
Es existiert $n\ge 0$ und ein surjektiver $A$-Algebren-Homomorphismus $A[X_1,\dots , X_n]\to B$.
Im folgenden Satz benutzen wir die Determinante von quadratischen Matrizen mit Einträgen in einem beliebigen kommutativen Ring. Wir definierten die Determinante durch die Leibniz-Formel. Insbesondere können wir dann zu jeder Matrix $m\in \mathop{\rm Mat}\nolimits _{n\times n}(R)$ die Komplementärmatrix von $m$ im Sinne der Cramerschen Regel bilden.
(Cramersche Regel) Sei $R$ ein Ring, $m\in \mathop{\rm Mat}\nolimits _{n\times n}(R)$. Sei $\tilde{m}$ die Komplementärmatrix von $m$ im Sinne der Cramerschen Regel. Dann gilt
\[ m\tilde{m} = \tilde{m}m = \det (m)E_n. \](“Cayley-Hamilton”) Sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, und $\varphi \colon M\to M$ ein $R$-Endomorphismus von $M$ mit $\varphi (M) \subseteq \mathfrak aM$. Dann existieren Elemente $a_i\in \mathfrak a$ mit
\[ \varphi ^n + a_{n-1}\varphi ^{n-1} + \cdots + a_0\mathop{\rm id}\nolimits _M = 0\qquad \text{in} \mathop{\rm End}\nolimits (M). \]
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus, und sei $b\in B$. Dann sind äquivalent:
Das Element $b$ ist ganz über $A$.
Die von $b$ erzeugte $A$-Algebra $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt, d.h. $A\to A[b]$ ist ein endlicher Ringhomomorphismus.
Es existiert ein Unterring $C\subseteq B$ mit $b\in C$, so dass $A\to C$ ein endlicher Ringhomomorphismus ist.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent:
$\varphi $ ist ganz und $B$ ist als $A$-Algebra endlich erzeugt.
$\varphi $ ist endlich.
Seien $\varphi \colon A\to B$, $\psi \colon B\to C$ Ringhomomorphismen.
Wenn $\varphi $ und $\psi $ endlich sind, so ist auch $\psi \circ \varphi $ endlich.
Wenn $\varphi $ und $\psi $ ganz sind, so ist auch $\psi \circ \varphi $ ganz.
Sei $\varphi \colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist die Teilmenge
ein Unterring von $B$, der als der ganze Abschluss von $A$ in $B$ bezeichnet wird.
Sei $\varphi A\to B$ ein injektiver Ringhomomorphismus. Dann heißt $A$ ganzabgeschlossen in $B$, wenn $A$ mit dem ganzen Abschluss von $A$ in $B$ übereinstimmt, mit anderen Worten: wenn die einzigen Elemente von $B$, die ganz über $A$ sind, die Elemente von $A$ sind.
Ein Integritätsring heißt ganzabgeschlossen, wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Seien $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus und $C\subseteq B$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$. Dann ist $C$ ganzabgeschlossen in $B$.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein endlicher (bzw. ganzer) Ringhomomorphismus.
Ist $\mathfrak b\subseteq B$ ein Ideal, so ist auch der von $\varphi $ induzierte Homomorphismus $A/\varphi ^{-1}(\mathfrak b) \to B/\mathfrak b$ endlich (bzw. ganz).
Ist $S\subseteq A$ eine multiplikative Teilmenge, so ist auch der von $\varphi $ induzierte Homomorphismus $S^{-1}A\to S^{-1}B$ endlich (bzw. ganz).
Ist $C$ eine $A$-Algebra, so ist auch der von $\varphi $ induzierte Homomorphismus $C\to B\otimes _AC$ endlich (bzw. ganz).
3.2 Going-up
Seien $A$ und $B$ Integritätsringe und sei $\varphi \colon A\to B$ ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus. Dann ist $A$ ein Körper genau dann, wenn $B$ ein Körper ist.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein ganzer Ringhomomorphismus, $\mathfrak q\in \mathop{\rm Spec}\nolimits B$, $\mathfrak p=\varphi ^{-1}(\mathfrak q)\in \mathop{\rm Spec}\nolimits A$. Dann ist $\mathfrak q$ ein maximales Ideal genau dann, wenn $\mathfrak p$ ein maximales Ideal ist.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein ganzer Ringhomomorphismus, seien $\mathfrak q$, $\mathfrak q’$ Primideale von $B$ mit $\mathfrak q\subseteq \mathfrak q’$ und $\varphi ^{-1}(\mathfrak q) = \varphi ^{-1}(\mathfrak q’)$. Dann gilt $\mathfrak q = \mathfrak q’$.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus. Dann ist die von $\varphi $ induzierte Abbildung $\mathop{\rm Spec}\nolimits B\to \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ surjektiv, d.h. für jedes $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ existiert ein $\mathfrak q\in \mathop{\rm Spec}\nolimits B$ mit $\mathfrak p = \varphi ^{-1}(\mathfrak q)$.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus, sei
eine Kette von Primidealen, und sei
eine Kette von Primidealen in $B$ mit $m\le n$ und $\varphi ^{-1}(\mathfrak q_i) = \mathfrak p_i$ für $i=1, \dots , m$.
Dann existieren Primideale $\mathfrak q_{m+1}\subseteq \dots \subseteq \mathfrak q_n\subset B$, so dass $\mathfrak q_m\subseteq \mathfrak q_{m+1}$ und so dass $\varphi ^{-1}(\mathfrak q_i) = \mathfrak p$ für alle $i$.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein endlicher Ringhomomorphismus. Dann sind die Fasern der Abbildung ${}^a\varphi :\mathop{\rm Spec}\nolimits B\to \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ endliche Mengen, und zwischen den Primidealen in einer Faser bestehen keine echten Inklusionen.
Sei $\varphi \colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus. Sei $f\colon \mathop{\rm Spec}\nolimits B\to \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ die von $\varphi $ induzierte Abbildung, sei $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ und sei $\kappa (\mathfrak p)$ der Restklassenkörper von $A$ in $\mathfrak p$. Dann induziert die natürliche Abbildung $\mathop{\rm Spec}\nolimits (B\otimes _A\kappa (p))\to \mathop{\rm Spec}\nolimits B$ eine Bijektion [genauer: sogar einen Homöomorphismus] von $\mathop{\rm Spec}\nolimits (B\otimes _A\kappa (p))$ auf die Faser $f^{-1}(\mathfrak p)$ von $f$ über $\mathfrak p$.
Ein Ring $R$ heißt Artin-Ring, wenn für die Ideale in $R$ die absteigende Kettenbedingung gilt, d.h., falls jede absteigende Kette
von Idealen in $R$ stationär wird. (Vgl. [ AM ] Ch. 8.)
Sei $A$ ein Körper und $A\to B$ ein endlicher Ringhomomorphismus. Dann ist $B$ ein Artin-Ring.
Sei $B$ ein Artin-Ring.
Alle Primideale von $B$ sind maximale Ideale.
$B$ besitzt nur endlich viele Primideale.
3.3 Noether-Normalisierung und der Hilbertsche Nullstellensatz
[ AM ] Ch. 5, [ Mu ] I.1, [ GW ] (1.3).
Sei $k$ ein Körper und sei $R\ne 0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Dann existieren $n\ge 0$ und ein injektiver endlicher $k$-Algebren-Homomorphismus $k[X_1,\dots , X_n]\to R$.
Ein Ring $A$ heißt Jacobsonsch, wenn für jedes Primideal $\mathfrak p\in \mathop{\rm Spec}\nolimits A$ gilt
Sei $k$ ein Körper und $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
Der Ring $A$ ist Jacobsonsch.
Ist $\mathfrak m$ ein maximales Ideal von $A$, so ist $k\to A/\mathfrak m$ eine endliche Körpererweiterung.
Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra und sei $\mathfrak m\subset A$ ein maximales Ideal. Dann gilt $A/\mathfrak m= k$.
Sei $\mathfrak m\subset k[T_1,\dots , T_n]$ ein maximales Ideal. Dann existieren $t_1, \dots , t_n\in k$ mit $\mathfrak m = (T_1-t_1,\dots , T_n-t_n)$.
Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien $f_1, \dots , f_m\in k[T_1, \dots , T_n]$. Dann haben wir eine Bijektion
\begin{align*} \{ (t_i)_i\in k^n;\ \forall j: f_j(t_1,\dots , t_n)=0\} & \overset {\sim }{\to }\mathop{\rm Spm}\nolimits k[T_1, \dots , T_n]/(f_1, \dots , f_m),\\ (t_i)_i& \mapsto (T_1-t_1, \dots , T_n-t_n) \end{align*}Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien $f_1, \dots , f_m\in k[T_1, \dots , T_n]$. Dann gilt
Sei $k$ ein Körper und sei $\varphi \colon A\to B$ ein Homomorphismus von endlich erzeugten $k$-Algebren. Dann ist für jedes maximale Ideal $\mathfrak n\subset B$ das Urbild $\varphi ^{-1}(\mathfrak n)$ ein maximales Ideal von $A$.