6.4 Dimensionstheorie für noethersche Ringe
Für allgemeine noethersche Ringe ist die Situation komplizierter. Immerhin haben wir die folgenden Ergebnisse:
Ist \(R\) ein Ring und \(\mathfrak p\subset R\) ein Primideal, so nennt man \(\operatorname{ht}\mathfrak p := \dim R_{\mathfrak p}\) die Höhe des Primideals \(\mathfrak p\).
Theorem
6.22
Krullscher Hauptidealsatz
Theorem
6.23
Sei \(R\) ein noetherscher Ring. Dann gilt
\[ \dim R[X] = \dim R + 1. \]
Beispiel
6.24
Sei \(R\) ein lokaler Hauptidealring, \((t) \subset R\) das maximale Ideal. Dann ist \(R[X]/(tX-1) \cong R_t = \operatorname{Quot}(R)\) ein Körper, also \((tX-1)\) ein maximales Ideal von Höhe \(1\), es gilt also
\[ \dim \left.R[X]\middle /(tX-1)\right. = 0 {\lt} 1 = \dim R[X] - 1. \]