2.3 Gruppenwirkungen
Wie oben bemerkt, sind »Gruppen von Bijektionen« bzw. allgemeiner Automorphismengruppen wichtige Beispiele von Gruppen. Ist \(G\) irgendeine Gruppe, so liefert uns »unsere« Definition von Gruppe, also der heutzutage übliche Gruppenbegriff, aber nur eine Verknüpfung auf \(G\) mit gewissen Eigenschaften und keine Anhaltspunkte für eine »konkrete Realisierung« der Elemente von \(G\) als Bijektionen einer Menge, als Automorphismen oder als »Symmetrien« einer Art. Allerdings ist es oft möglich (und nützlich) für eine gegebene Gruppe zu untersuchen, wie ein solcher Zusammenhang zu einer Gruppe der Form \(\operatorname{Bij}(X)\) hergestellt werden kann. Ein offensichtlicher Ansatz ist es, Gruppenhomomorphismen \(G\to \operatorname{Bij}(X)\) zu betrachten, mit anderen Worten Zuordnungen, die jedem Element von \(g\) eine Bijektion \(X\to X\) zuordnen, so dass gewisse Eigenschaften erfüllt sein müssen. Schreibt man diese aus, erhält man den Begriff der Wirkung oder Operation einer Gruppe \(G\) auf einer Menge \(X\) wie in der folgenden Definition.
Seien \(G\) eine Gruppe und \(X\) eine Menge. Eine Wirkung (oder: Operation) ist eine Abbildung
die die folgenden Eigenschaften hat:
\((gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x)\) für alle \(g,h\in G\) und alle \(x\in X\),
\(1\cdot x=x\) für alle \(x\in X\) (wobei \(1\in G\) das neutrale Element bezeichne).
In äquivalenter Weise können wir eine Wirkung von \(G\) auf \(X\) als einen Gruppenhomomorphismus \(\varphi \colon G\to \operatorname{Bij}(X)\) betrachten; die Beziehung zwischen den beiden Sichtweisen ist durch \(\varphi (g)(x) = g\cdot x\) gegeben. Oft schreibt man statt \(g\cdot x\) auch einfach \(gx\) (oder benutzt gegebenenfalls ein anderes Symbol).
Bevor wir Beispiele betrachten, führen wir noch die folgenden wichtigen Begriffe ein:
Sei \(G\times X\to X, (g,x)\mapsto gx\) eine Gruppenwirkung.
Die Bahn (oder: der Orbit) eines Elements \(x\in X\) unter der Gruppe \(G\) ist die Teilmenge
\[ Gx := \{ gx;\ g\in G\} \subseteq X. \]Der Stabilisator eines Elements \(x\) ist die Untergruppe
\[ \operatorname{Stab}_G(x) := \{ g\in G;\ gx=x\} \]von \(G\). Manchmal nennt man diese auch die Standgruppe oder die Isotropiegruppe von \(x\) in \(G\).
Allgemeiner kann man den Stabilisator einer Teilmenge \(M\subseteq X\) definieren, dies ist die Untergruppe
\[ \operatorname{Stab}_G(M) := \{ g\in G;\ gM=M\} \]von \(G\). Hier schreiben wir \(gM = \{ gm;\ m\in M\} \subseteq X\).
Operiert die Gruppe \(G\) auf der Menge \(M\) und ist \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, so können wir die Operation »auf \(H\) einschränken«, d.h. die gegebene Abbildung \(G\times M\to M\) einschränken zu einer Abbildung \(H\times M\to M\) und erhalten so eine Operation von \(H\) auf \(M\).
Die symmetrische Gruppe \(S_n\) (und entsprechend jede Untergruppe von \(S_n\)) operiert auf der Menge \(\{ 1, \dots , n\} \) durch \(\sigma \cdot n = \sigma (n)\).
Analog zu (1) operiert die Automorphismengruppe eines Objekts auf diesem Objekt, zum Beispiel haben wir für (Standard-)Vektorräume:
Sei \(K\) ein Körper und \(n\in \mathbb N\). Die Gruppe \(GL_n(K)\) operiert auf dem Vektorraum \(K^n\) durch Matrizenmultiplikation, d.h. die Operation ist gegeben durch
\[ GL_n(K) \times K^n \to K^n,\quad (g,v)\mapsto gv. \]Als Gruppenhomomorphismus \(GL_n(K) \to \operatorname{Bij}(V)\) verstanden ist diese Operation (wenn wir invertierbare Matrizen als Automorphismen \(K^n\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^n\) verstehen) einfach die Inklusion der Gruppe aller linearen bijektiven Abbildungen in die Gruppe aller bijektiven Abbildungen.
Ist \(M\subset K^n\) eine Teilmenge, so operiert die Gruppe \(G:=\operatorname{Stab}_{GL_n(K)}(M)\) auf \(M\). (Dies ist ein allgemeines Prinzip, um die Wirkung einer Gruppe einzuschränken.) Siehe auch Abschnitt LA1.8.1.6.
Ist \(K\) ein Körper, \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(G\) eine Gruppe, so nennen wir eine Operation \(\rho \colon G\to \operatorname{Bij}(V)\) von \(G\) auf \(V\) eine Operation durch Vektorraumautomorphismen, wenn das Bild von \(\rho \) in der Untergruppe \(\operatorname{Aut}_K(V)\) aller Vektorraumautomorphismen von \(V\) liegt. Mit anderen Worten: Für jedes \(g\in G\) ist die Bijektion \(V\to V\), \(v\mapsto gv\), eine lineare Abbildung.
Analog kann man Operationen von \(G\) auf einer Gruppe \(X\) durch Gruppenhomomorphismen oder auf einem Körper durch Körperautomorphismen, usw., betrachten.
Die Gruppe \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\) operiert auf \(\mathbb C\) durch komplexe Konjugation, d.h. wir definieren eine Gruppenoperation \(\rho \colon \left.\mathbb Z\middle /2\right.\to \operatorname{Bij}(\mathbb C)\) indem wir \(\rho (0)\) als die Identitätsabbildung \(\mathbb C\to \mathbb C\) und \(\rho (1)\) als die komplexe Konjugation \(\sigma \colon \mathbb C\to \mathbb C\) definieren. Weil \(\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}\) ist, ist dies ein Gruppenhomomorphismus.
Die (additive) Gruppe \(\mathbb R\) operiert auf \(\mathbb R^2\) durch Drehungen, d.h. die Abbildung
\[ \rho \colon \mathbb R\longrightarrow GL_2(\mathbb R),\quad \theta \mapsto \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}, \]ist ein Gruppenhomomorphismus, und die Verkettung mit der Inklusion \(GL_2(\mathbb R) = \operatorname{Aut}_{\mathbb R}(\mathbb R^2) \subset \operatorname{Bij}(\mathbb R^2)\) ist die oben genannte Wirkung. Alle Elemente der Untergruppe \(2\pi \mathbb Z= \{ 2\pi k; k\in \mathbb Z\} \subset \mathbb R\) operieren »trivial«, also durch die Identitätsabbildung. Mit anderen Worten: \(2\pi \mathbb Z\subseteq \operatorname{Ker}(\rho )\). Also erhalten wir nach dem Homomorphiesatz einen Homomorphismus
\[ \overline{\rho }\colon \mathbb R/2\pi \mathbb Z\to GL_2(\mathbb R), \]d.h. eine Wirkung der Gruppe \(\mathbb R/2\pi \mathbb Z\) auch \(\mathbb R^2\) durch Vektorraumautomorphismen. Die Bahnen dieser Operation sind einerseits die Teilmenge \(\{ 0\} \), die nur aus dem Ursprung besteht, andererseits alle Kreise um den Ursprung (mit Radius \({\gt} 0\)). Der Stabilisator von \(0\in \mathbb R^2\) ist die gesamte Gruppe, der Stabilisator eines Punktes \(v\in \mathbb R^2\setminus \{ 0\} \) ist die triviale Gruppe \(\{ 0\} \).
Sei \(K\) ein Körper und seine \(0 \le r \le n\) natürliche Zahlen. Sei \(\mathscr G\) die Menge der \(r\)-dimensionalen Untervektorräume des \(K\)-Vektorraums \(K^n\). Ist \(f\colon K^n\to K^n\) ein Vektorraum-Automorphismus und \(U\in \mathscr G\), so ist \(f(U)\) ebenfalls ein Element von \(\mathscr G\). Indem wir invertierbare Matrizen als Vektorraum-Automorphismen betrachten, erhalten wir so eine Operation der Gruppe \(GL_n(K)\) auf der Menge \(\mathscr G\). Was sind die Bahnen dieser Operation? Was ist der Stabilisator des Unterraums, der von den ersten \(r\) Standardbasisvektoren erzeugt wird?
Sei \(G\) eine Gruppe. Dann ist \(G\times G\to G\), \(g\bullet h:= ghg^{-1}\) eine Gruppenwirkung, die Wirkung durch Konjugation von \(G\) auf sich selbst. (An dieser Stelle ist es natürlich zwingend, die Operation nicht einfach als Multiplikation zu schreiben, weil sie sonst nicht von der Gruppenmultiplikation unterscheidbar wäre.)
Die Bahnen unter dieser Operation heißen die Konjugationsklassen der Gruppe \(G\). Den Stabilisator eines Elements \(h\in G\) unter der Konjugationswirkung nennen wir den Zentralisator von \(h\) und bezeichnen ihn mit \(Z_h\). Es gilt also
Allgemeiner sei für eine Teilmenge \(S \in G\) der Zentralisator von \(S\) definiert als
also als die Untergruppe von \(G\) derjenigen Elemente, die mit allen Elementen aus \(S\) kommutieren. Den Zentralisator \(Z_G\) der ganzen Gruppe \(G\) nennt man das Zentrum von \(G\). Dies ist eine abelsche Gruppe und ein Normalteiler von \(G\) (allerdings besteht für manche Gruppen das Zentrum lediglich aus dem neutralen Element). Dass \(Z_G=G\) gilt, ist dazu äquivalent, dass \(G\) abelsch ist.
Ist \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, so heißt der Stabilisator von \(H\) in \(G\) bezüglich der Konjugationswirkung der Normalisator der Untergruppe \(H\). Dieser wird mit \(N_G(H)\) bezeichnet und ist eine Untergruppe von \(G\), die \(H\) enthält und in der \(H\) ein Normalteiler ist (und zwar die größte solche Untergruppe). Ausgeschrieben gilt also
Machen Sie sich den Unterschied zum Zentralisator \(Z_H\) klar!
Sei \(K\) ein Körper. Die Gruppe \(G=GL_n(K)\) operiert durch Konjugation auf dem Raum \(M_n(K)\) der quadratischen Matrizen der Größe \(n\), d.h. \(g\in G\) operiert durch \(A\mapsto gAg^{-1}\). Der Satz über die Jordansche Normalform beschreibt die Menge der Bahnen dieser Operation.
Sei \(G\) eine Gruppe, die auf einer Menge \(X\) operiert. Sei \(x\in X\). Dann induziert die Abbildung \(G\to X\), \(g\mapsto gx\), eine Bijektion \(G/\operatorname{Stab}_G(x)\to Gx\).
Die angegebene Vorschrift ist wohldefiniert, denn für \(g\in G\) und \(h\in \operatorname{Stab}_G(x)\) gilt \((gh)x = g(hx) = gx\). Es ist klar, dass die Abbildung \(G\to X\), \(g\mapsto gx\), das Bild \(Gx\) hat, als Abbildung \(G\to Gx\) verstanden also surjektiv ist. Elemente \(g, g'\in G\) haben genau dann das gleiche Bild unter dieser Abbildung, wenn \(gx = g' x\), also \(g^{-1}g' x =x\) oder mit anderen Worten \(g^{-1}g' \in \operatorname{Stab}_G(x)\) gilt. Das ist dazu äquivalent, dass \(g\) und \(g'\) dieselbe Restklasse in \(G/\operatorname{Stab}_G(x)\) haben. Daraus folgt die Behauptung.
Sei weiterhin \(G\) eine Gruppe, die auf einer Menge \(X\) operiert. Sind \(x, y \in X\) mit \(Gx\cap Gy \ne \emptyset \), etwa \(z\in Gx\cap Gy\), so gilt können wir \(z = gx = hy\) schreiben und erhalten \(y = (h^{-1}g)x \in Gx\) und damit \(Gy \subseteq Gx\). Aus Symmetriegründen folgt \(Gy = Gx\). Zwei Bahnen sind also entweder disjunkt oder gleich. Mit anderen Worten: Die Menge \(X\) ist die disjunkte Vereinigung aller Bahnen.
Die Bahnen sind, wie man leicht überprüft, die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation
Sei \(G\) eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge \(X\) operiert. Sei \(x_1,\dots , x_r\) ein Vertretersystem der Bahnen von \(X\) auf \(G\), d.h. zu jeder Bahn \(B\subseteq X\) in \(X\) unter \(G\) existiere ein eindeutig bestimmtes \(i\) mit \(x_i\in B\). Dann gilt
Die erste Gleichheit folgt daraus, dass \(X\) die disjunkte Vereinigung aller Bahnen ist. Die zweite Gleichung ergibt sich aus Lemma 2.32.
Wir wollen eine Folgerung aus der Bahnengleichung angeben, die dafür typisch ist, wie wir sie in Abschnitt 2.7 benutzen werden.
Sei \(p\) eine Primzahl. Sei \(G\) eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine Potenz von \(p\) ist. Sei \(X\) eine endliche Menge, auf der \(G\) operiert. Es sei
die Menge der Fixpunkte unter der \(G\)-Wirkung. Dann gilt
Dass ein Punkt \(x\in X\) in \(X^G\) liegt, bedeutet gerade, dass er von allen Elementen von \(G\) fixiert wird, dass also \(\operatorname{Stab}_G(x) = G\) gilt. Diese Elemente bilden jeweils eine eigene Bahn unter der Operation, und es gilt dann \(G/\operatorname{Stab}_G(x) = 1\). In der Bahnengleichung
sind alle Summanden \(\# (G/\operatorname{Stab}_G(x_i))\), für die \(\operatorname{Stab}_G(x_i)\ne G\) gilt, durch \(p\) teilbar. Diese können wir also vernachlässigen, wenn wir modulo \(p\) rechnen. Also ist
Im speziellen Fall der Wirkung einer endlichen Gruppe \(G\) auf sich selbst durch Konjugation erhalten wir:
Dass die Konjugationsklasse eines Elements \(g\in G\) aus einem einzigen Element besteht, also die Form \(\{ g\} \) hat, ist damit gleichbedeutend, dass \(g\) mit allen Elementen von \(G\) kommutiert, also im Zentrum \(Z_G\) der Gruppe \(G\) liegt. Die Elemente des Zentrums sind also diejenigen, die für sich genommen eine Bahn bilden. Daher ergibt sich die angegebene Gleichheit unmittelbar aus der Bahnengleichung für die Operation von \(G\) auf sich selbst durch Konjugation.
Auch aus der Klassengleichung können wir eine interessante Folgerung über Gruppen ableiten, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist.
Sei \(p\) eine Primzahl. Sei \(G\) eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine Potenz \(p^r\) von \(p\) mit \(r\ge 1\) ist. Dann ist das Zentrum von \(G\) nicht die triviale Gruppe.
Wir schreiben die Klassengleichung für \(G\) aus:
Nach Definition der \(x_i\) gilt \(Z_{x_i}\ne 1\) für alle \(i\), so dass \(\# (G/Z_{x_i}) {\gt} 1\) für alle \(i\) folgt. Diese Terme und damit auch die gesamte Summe sind folglich durch \(p\) teilbar. Weil \(\# G\) auch durch \(p\) teilbar ist, folgt \(p\, |\, \# Z_G\). Nun gilt \(\# Z_G \ge 1\), weil das Zentrum jedenfalls das neutrale Element von \(G\) enthält. Insgesamt folgt \(\# Z_G {\gt} 1\), wie behauptet.
Oft ist die folgende Sprechweise nützlich:
Operiert eine Gruppe \(G\) transitiv auf einer Menge \(X\) und ist \(x\) irgendein Element, so erhalten wir mit Lemma 2.32 eine Bijektion \(G/\operatorname{Stab}_G(x)\to X\), \(g\mapsto gx\), also eine Beschreibung von \(X\) in Termen von \(G\) und der Untergruppe \(\operatorname{Stab}_G(x)\).