4 Noethersche Ringe
4.1 Definition und einfache Eigenschaften
Ein Ring $R$ heißt noethersch, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
Jede aufsteigende Kette
\[ \mathfrak a_0 \subseteq \mathfrak a_1 \subseteq \mathfrak a_2 \subseteq \cdots \]von Idealen in $R$ wird stationär, d.h. es existiert $n\ge 0$, so dass $\mathfrak a_m = \mathfrak a_n$ für alle $m\ge n$.
Jedes Ideal von $R$ ist endlich erzeugt.
Jede nichtleere Menge von Idealen in $R$ besitzt ein maximales Element bezüglich Inklusion.
Jeder Hauptidealring ist noethersch.
Ist $R$ ein noetherscher Ring und $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, so ist auch $R/\mathfrak a$ noethersch.
Sei $R\ne 0$ ein Ring. Dann ist der Polynomring $R[X_i;\ i\in \mathbb N]$ in unendlich vielen Unbestimmten nicht noethersch. Insbesondere sind Unterringe noetherscher Ringe nicht notwendig noethersch.
Sei $R$ ein noetherscher Ring, $S\subseteq A$ eine multiplikative Teilmenge. Dann ist $S^{-1}R$ noethersch.
Sei $R$ ein Ring (nicht notwendig noethersch). Ein $R$-Modul $M$ heißt noethersch, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
Jede aufsteigende Kette von Untermoduln von $M$ wird stationär.
Jeder Untermodul von $M$ ist endlich erzeugt.
Jede nichtleere Menge von Untermoduln von $M$ besitzt ein maximales Element bezüglich Inklusion.
Mit dieser Definition gilt: Ein Ring $R$ ist genau dann noethersch, wenn der $R$-Modul $R$ noethersch ist.
Sei $R$ ein Ring.
Sei
\[ 0 \to M’ \to M \to M” \to 0 \]eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Dann gilt: $M$ ist genau dann noethersch, wenn $M’$ und $M”$ noethersch sind.
Sei $R$ ein noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann ist $M$ noethersch.