Kommutative Algebra, SS 2012.
Notizen zur Vorlesung.

Inhalt

4 Noethersche Ringe

4.1 Definition und einfache Eigenschaften

[ AM ] Ch. 6, 7, [ M2 ] §3

Definition 4.1

Ein Ring $R$ heißt noethersch, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

  1. Jede aufsteigende Kette

    \[ \mathfrak a_0 \subseteq \mathfrak a_1 \subseteq \mathfrak a_2 \subseteq \cdots \]

    von Idealen in $R$ wird stationär, d.h. es existiert $n\ge 0$, so dass $\mathfrak a_m = \mathfrak a_n$ für alle $m\ge n$.

  2. Jedes Ideal von $R$ ist endlich erzeugt.

  3. Jede nichtleere Menge von Idealen in $R$ besitzt ein maximales Element bezüglich Inklusion.

Beispiel 4.2
  1. Jeder Hauptidealring ist noethersch.

  2. Ist $R$ ein noetherscher Ring und $\mathfrak a\subseteq R$ ein Ideal, so ist auch $R/\mathfrak a$ noethersch.

  3. Sei $R\ne 0$ ein Ring. Dann ist der Polynomring $R[X_i;\ i\in \mathbb N]$ in unendlich vielen Unbestimmten nicht noethersch. Insbesondere sind Unterringe noetherscher Ringe nicht notwendig noethersch.

Satz 4.3

Sei $R$ ein noetherscher Ring, $S\subseteq A$ eine multiplikative Teilmenge. Dann ist $S^{-1}R$ noethersch.

Definition 4.4

Sei $R$ ein Ring (nicht notwendig noethersch). Ein $R$-Modul $M$ heißt noethersch, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

  1. Jede aufsteigende Kette von Untermoduln von $M$ wird stationär.

  2. Jeder Untermodul von $M$ ist endlich erzeugt.

  3. Jede nichtleere Menge von Untermoduln von $M$ besitzt ein maximales Element bezüglich Inklusion.

Mit dieser Definition gilt: Ein Ring $R$ ist genau dann noethersch, wenn der $R$-Modul $R$ noethersch ist.

Satz 4.5

Sei $R$ ein Ring.

  1. Sei

    \[ 0 \to M’ \to M \to M” \to 0 \]

    eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Dann gilt: $M$ ist genau dann noethersch, wenn $M’$ und $M”$ noethersch sind.

  2. Sei $R$ ein noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann ist $M$ noethersch.

4.2 Der Hilbertsche Basissatz

[ AM ] Ch. 7, [ M2 ] §3

Theorem 4.6 Hilbertscher Basissatz

Sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch.

Korollar 4.7

Sei $R$ ein noetherscher Ring und $A$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra. Dann ist auch der Ring $A$ noethersch.