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E.3 Minimalpolynom

Definition E.37

Sei \(A\in M_{n}(K)\), und sei \(\Phi \colon K[X]\rightarrow M_{n\times n}(K)\) der Ringhomorphismus mit \(\Phi (a) = aE_n\) für alle \(a\in K\) und \(\Phi (X) = A\). Wir schreiben \(K[A]\) für das Bild von \(\Phi \)—dies ist ein kommutativer Unterring von \(M_{n}(K)\), der \(K\) enthält (und auch ein \(K\)-Vektorraum ist).

Das Minimalpolynom \(\operatorname{minpol}_A\) von \(A\) ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom \(p\in K[X]\) mit \(\operatorname{Ker}\Phi = (p)\).

Ist \(f\in \operatorname{End}_K(V)\), so haben alle Matrizen, die \(f\) bezüglich einer Basis von \(V\) beschreiben, dasselbe Minimalpolynom. Wir nennen dieses Polynom das Minimalpolynom von \(f\) und bezeichnen es mit \(\operatorname{minpol}_f\).

Definition E.38

Sei \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Ein Untervektorraum \(U\subseteq V\) heißt \(f\)-invariant, wenn \(f(U)\subseteq U\).

Definition E.39

Sei \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Ein Untervektorraum \(U\subseteq V\) heißt \(f\)-zyklischer Unterraum, falls \(u\in U\) existiert mit \(U = \langle u, f(u), f^2(u), \dots \rangle \).

Definition E.40

Sei \(\chi = X^n + \sum _{i=0}^{n-1} a_i X^i\in K[X]\) ein normiertes Polynom vom Grad \(n\). Dann heißt die Matrix

\[ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & & & & -a_0\\ 1 & 0 & & & -a_1\\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & \vdots \\ & & & 1 & -a_{n-1} \end{array} \right) \]

die Begleitmatrix von \(\chi \).

Lemma E.41

Sei \(A\in M_{n}(K)\) die Begleitmatrix des normierten Polynoms \(\chi \) (vom Grad \(n\)). Dann gilt \(\operatorname{charpol}_A = \operatorname{minpol}_A= \chi \).

Satz E.42 Cayley–Hamilton

Ist \(A\in M_{n}(K)\), so gilt \(\operatorname{charpol}_A(A)=0 (\in M_{n}(K))\). Ist \(f\) ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\), so gilt \(\operatorname{charpol}_f(f) = 0 (\in \operatorname{End}_K(V))\).

Eine äquivalente Formulierung ist, dass das charakteristische Polynom immer vom Minimalpolynom geteilt wird.